کاربرد ریاضی در شیمی

استفاده از محاسبات ریاضی در شیمی لازمه حل مسائل استوکیومتری است و یکی از مشکلات اصلی دانش آموزان ، عدم آشنایی و تمرین کافی با برخی از مفاهیم ریاضی و کاربرد آن ها می باشد .مفاهیمی مانند جذر و توان و لگاریتم در ریاضی و به دست آوردن حجم شکل های هندسی مثل کره ، استوانه و حتی هرم و مخروط ، بر خود لازم دانستم که برخی از این مفاهیم را با ذکر مثال از شیمی کنکور مطرح کنم

کاربرد توان در مسائل شیمی : لازم است که چهارعمل اصلی در باره اعداد توان دار را برای حل مسائل مسلط باشیم .

ضرب دو عدد توان دار با پایه های یکسان :$ a^{m}\times a^{n}=a^{m+n} $ ( m و n مخالف صفر ) ،$ a^{0}=1 , a^{1}=a $

تقسیم دو عدد توان دار با پایه های یکسان : $ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} $

اگر نما یا توان یکسان باشد : $ \frac{a^{n}}{b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n} $

ضرب دو عدد با نمای یکسان : $a^{n}\times b^{n}=(ab)^{n}$ ، $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ یا $(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$

مثال : ثابت یونش محلول 0.01 مولار هیدروفلوئوریک اسید با pH=4 را حساب کنید . $K_{a}=\frac{[H^{+}]^{2}}{[HF]}=\frac{(1\times 10^{-4})^{2}}{(1\times 10^{-2})}=1\times 10^{-6}M$

سوال : آیا جهت تسلط بر محاسبات ریاضی در شیمی لازم است کتاب خاصی را مطالعه کنیم : خیر؛ گاها برخورد می کنم به دانش آموزی که سوال می کنه که آقا من یک کتاب 100 صفحه ای و یا چهار حلقه دی وی دی برای محاسبات ریاضی در شیمی مطالعه کرده ام ، در حالی که باید بداند که اکثرمحاسبات صورت و مخرج کسر ، ضریبی از یکدیگر بوده و به راحتی ساده می شوند .

کاربرد حل معادلات درجه دوم در مسائل شیمی : معادلات درجه دوم که به صورت کلی : $aX^{2}+bX+C=0$ نمایش داده می شوند ، که در آن a مخالف صفر است . در جریان حل تست های کنکور شیمی اسید و باز ( فصل اول شیمی دوازدهم ) و یا تعادلات شیمیایی در فصل چهارم شیمی دوازده ناگزیر از حل معادله درجه دوم هستیم تا جواب تست را بیابیم که این جواب اغلب نشان دهنده مقدار یک ماده است .

سوال : منظور از معادله درجه دوم ناقص چیست ؟ معادله درجه دوم که در آن مقدار b و یا C برابر صفر است .

اگر C=0 باشد ، داریم که : $aX^{2}+bX=0 \rightarrow x=0 , x=-\frac{b}{a}$

و اگر b=0 داریم که : $aX^{2}+C=0$ و a و c هم علامت نباشند می توان گفت که : $x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$

روش دلتا $(\Delta )$ : که در آن مقدار دلتا ( مبین معادله) برابر است با : $\Delta =b^{2}-4ac$ ، اگر مقدار دلتا بیشتر از صفر یاشد ، یعنی معادله دارای دو جواب حقیقی و مجزا خواهد بود . و اگر دلتا برابرصفرباشد ، فقط یک جواب یا ریشه مضاعف دارد . اگر دلتا منفی باشد ، در سطح متوسطه بیان می کنیم که ریشه ندارد و یکی از روش های مهم در حل این نوع معادلات روش تجزیه است . که در این روش سه جمله ای درجه دوم را به حاصل ضرب دو پرانتز تجزیه کرده و هر کدام را مساوی صفر قرار می دهیم . به دست آوردن x در حالت کلی : $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

نکته : اگر $a+b+c=0$ باشد ، آنگاه یکی از ریشه ها برابر 1+و دیگری برابر $\frac{c}{a}$ خواهد بود .

نکته : اگر $b=a+c$ باشد ، آنگاه یکی از ریشه ها برابر 1- و دیگری برابر $-\frac{c}{a}$ خواهد بود .

نکته : اگر $a=c$ باشد ، آنگاه ریشه های معادله درجه دوم معکوس هم خواهد بود .

نکته : اگر $a=-c$ باشد معادله دارای دو جواب معکوس و قریته هم خواهد بود .

مثال : pH محلول 0.2 مولار اسید ضعیف HA که $pK_{a}=1$ آن برابر 1 است ، کدام است ؟ ( تجربی کنکور 91 )

$K_{a}=\frac{[H^+]^{2}}{C_{m}-[H^+]} \Longrightarrow 0.1=\frac{x^{2}}{0.2-x} \Longrightarrow X^{2}+0.1X-0.02=0$

$x_{1} =-0.1 \hspace{0.5cm} x_{2}=+0.2 \hspace{0.5cm} pH=-Log(0.2)=0.7$

همان طور که ملاحظه می کنید در حل این تست شیمی از این تکنیک که حاصل ضرب دوریشه برابر 0.02 – و حاصل جمع دوریشه مجهول برابر 0.1 است استفاده کردیم .

کاربرد لگاریتم در شیمی : لازم است که لگاریتم اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 10 و 7 را مسلط باشیم به این طریق می توانیم لگاریتم بقیه اعداد را از حاصل ضرب این اعداد استخراج کنیم . $log1=0 , log2=0.3, log3=0.48 , log10=1, log7=0.85$

سوال : لگاریتم 35 برابر چه عددی است ؟ $log35=(log7+log5)=0.85+0.7=1.55$

سوال : لگاریتم 6.4 برابر چه عددی است ؟ $log(6.4)=log\frac{64}{10}={log8+log8}-log10=(0.9+0.9)-1=0.8$

نکته : $log(a.b)=loga+logb\hspace*{0.70cm} log\frac{a}{b}=loga-logb\hspace*{0.70cm} loga^{n}=nloga$ $K_{a}=\frac{[H^+]^{2}}{C_{m}-[H^+]} \Longrightarrow 0.1=\frac{x^{2}}{0.2-x} \xrightarrow{\text{then}} X^{2}+0.1X-0.02=0$

نکته : $10^{0.85}=7 \hspace*{0.5cm} 10^{0.3}=2\hspace{0.5cm} 10^{0.48}=3 \hspace{0.5cm} 10^{1.6}=10^{1}\times 10^{0.6}=40$

سوال : جذر تقریبی 15 کدام است ؟ $\sqrt{15}=\sqrt{16-1}=4-\frac{1}{8}=3.9$

سوال : جذر تقریبی 1000 کدام است ؟ ( شیمی تجربی 97 ) $\sqrt{1000}=\sqrt{900+100}=30+\frac{100}{60}=31.7$

محاسبه حجم اشکال هندسی در ریاضی و کاربرد آن در تست های شیمی کنکور

حجم کره : $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ، حجم استوانه : $V=\pi r^{2}h$ ، حجم مکعب : $V=a^{3}$

حجم مکعب مستطیل : $V=abc$ ، حجم محروط : $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ ، حجم هرم : $V=\frac{1}{3}Sh$

حجم هرم درواقع : یک سوم حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع آن می باشد .

همان طور که ملاحظه می کنید در این سوال ، دانش آموز علاوه بر چالش مفاهیم شیمی با مفهوم نحوه محاسبه حجم استوانه درگیر است ، پس تاکید من بر این است که حتما نحوه محاسبه حجم اشکال هندسی را مسلط شوید .

حل تست : این سوال واکنش بین اسید و منیزیم است که مقدار اسید محدود کننده واکنش بوده $0.06\times0.100=0.006$ در حالی که مقدار منیزیم اضافی است . $2\times\frac{2}{24}=0.17$ پس مقدار گاز آزاد شده از روی مقدار اسید حساب میشه $2HCl\Longrightarrow H_{2}$ که اگر صورت و محرج تناسب را پرکنیم $\frac{0.006}{2}=\frac{v}{1\times20000} \rightarrow v=30ml$ که با توجه به نمودار این حجم گاز در 10 دقیقه یا 600 ثانیه آزاد می شود . و اما این حجم گاز چند سانتی متر پیستون را به عقب می راند یعنی این که با در دست داشتن حجم استوانه می توان ارتفاع آن را حساب کرد . می دانیم که حجم استوانه : $V=\pi r^2h \longrightarrow 30=3\times1^{2}\times h \longrightarrow h=10Cm$ از دید من در این سوال مهم این بود که دانش آموز بر نحوه محاسبه حجم استوانه مسلط باشد تا استوکیومتری ساده این سوال .